有理分式分解的一种快捷方法

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有理分式分解的一种快捷方法

在学习信号与系统等学科时，我们经常会遇到有理分式分解的问题。 通常情况下，对于分母为若干一次式的乘积的情况，我们可以通过留数法快速分解， 然而，对于分母含有二次式的情况，教科书上却鲜有提及。 我在多次遇到次此类问题后，认为可能会存在更快速的方法，通过几天的研究，总结一种快捷方法，并对其进行了证明。

简单问题

首先，我先来介绍一些比较简单的情况。设

F(s)=s3+s+1(s−1)(s−2)(s−3)F(s)=\frac{s^3+s+1}{(s-1)(s-2)(s-3)}

通过留数法我们可以分解为

F(s)=1+s3+s+1(s−2)(s−3)∣s=1⋅1s−1+s3+s+1(s−1)(s−3)∣s=2⋅1s−2+s3+s+1(s−1)(s−2)∣s=3⋅1s−3F(s)=1+\frac{s^3+s+1}{(s-2)(s-3)}|_{s=1} \cdot \frac{1}{s-1} +\frac{s^3+s+1}{(s-1)(s-3)}|_{s=2}\cdot \frac{1}{s-2} +\frac{s^3+s+1}{(s-1)(s-2)}|_{s=3}\cdot \frac{1}{s-3}

未完待续